Question

【題目】如圖，在中，．半徑為的圓與邊相交于點與邊相交于點連結并延長，與線段的延長線交于點．

（1）當時，連結若與相似，求的長；

（2）若求的正切值；

（3）若，設的周長為，求關于的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），其中

【解析】

（1）當∠B=30°時，∠A=60°，此時△ADE是等邊三角形，則∠PEC=∠AED=60°，由此可證得∠P=∠B=30°；若△AEP與△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此時EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的長；
（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的長；過C作CF∥DP交AB于F，易證得△ADE∽△AFC，根據得到的比例線段可求出DF的長；進而可通過證△BCF∽△BPD，根據相似三角形的對應邊成比例求得BP、BC的比例關系，進而求出BP、CP的長；在Rt△CEP中，根據求得的CP的長及已知的CE的長即可得到∠BPD的正切值；
（3）過點D作DQ⊥AC于Q，可用未知數表示出QE的長，根據∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的長；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的長，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的長；易證得△ADQ∽△ABC，根據得到的比例線段可求出BD、BC的表達式，進而可根據三角形周長的計算方法得到y、x的函數關系式．

解：

三角形為等腰三角形

與相似

在中，

過點作于點，

且設

與相似

即

在中，

解之得，

即

過點作

與相似，

，

即，

即

與相似

，

即：

過點作于點，

則與相似，

設，則

且

在中，

據勾股定理得：

即：，

解之得(舍去)

與相似

三角形的周長

即：，其中