Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E，B．

（1）求二次函數y=ax2+bx+c的解析式；

（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+5（2）點P（， ）時，S四邊形APCD最大=

【解析】（1）利用頂點式即可求出二次函數解析式；

（2）先求出直線AB的解析式，設出點P坐標（x，-x2+4x+5），建立函數關系式S四邊形APCD=×AC×PD＝2(-x2+5x)=-2x2＋10x，根據二次函數求出極值即可.

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+9，

∵拋物線與y軸交于點A（0，5），

∴4a+9=5，

∴a=﹣1，

y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，

（2）當y=0時，﹣x2+4x+5=0，

∴x1=﹣1，x2=5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

設直線AB的解析式為y=mx+n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m=﹣1，n=5，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+5；

設P（x，﹣x2+4x+5），

∴D（x，﹣x+5），

∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，

∵AC=4，

∴S四邊形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x=﹣（x﹣）2+，

∵﹣1＜0

∴當x=時，

∴即：點P（， ）時，S四邊形APCD最大=．