Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經過A(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點B．

(1)若直線y＝mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x＝﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；

(3)設點P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，直線的解析式為y＝x+3；(2)當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(﹣1，2)；(3)P的坐標為(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，) 或(﹣1，)．

【解析】

先把點A，C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關系式，再根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；

設直線BC與對稱軸的交點為M，則此時的值最小把代入直線得y的值，即可求出點M坐標；

設，又因為，，所以可得，，，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標．

解：(1)依題意得：，

解之得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3

∵對稱軸為x＝﹣1，且拋物線經過A(1，0)，

∴把B(﹣3，0)、C(0，3)分別代入直線y＝mx+n，

得 ，

解之得：，

∴直線y＝mx+n的解析式為y＝x+3；

(2)設直線BC與對稱軸x＝﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．

把x＝﹣1代入直線y＝x+3得，y＝2，

∴M(﹣1，2)，

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(﹣1，2)；

(3)設P(﹣1，t)，

又∵B(﹣3，0)，C(0，3)，

∴BC2＝18，PB2＝(﹣1+3)2+t2＝4+t2，PC2＝(﹣1)2+(t﹣3)2＝t2﹣6t+10，

①若點B為直角頂點，則BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；

②若點C為直角頂點，則BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，

③若點P為直角頂點，則PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；

綜上所述P的坐標為(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，) 或(﹣1，)．