Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，過點O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，過點O作OD⊥BC于D，下列三個結論： ①∠AOB=90°+;②當∠C=90°時，E，F分別是AC，BC的中點；③若OD=a，CE+CF=2b，則S△CEF=ab,其中正確的是（ ）

A. ①②③B. ①③C. ①②D. ①

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據三角形的內角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，再根據角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），然后根據三角形的內角和定理列式整理即可得解，判斷出①正確；根據角平分線的定義判斷出點O在∠ACB的平分線上，從而得到點O不是∠ACB的平分線的中點，然后判斷出②錯誤；根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點O到AC的距離等于OD，再利用三角形的面積公式列式計算即可得到S△CEF=ab，判斷出③正確．

解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，
∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=90°-∠C，
在△AOB中，∠AOB=180°-（90°-∠C）=90°+∠C，故①正確；
∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，
∴點O在∠ACB的平分線上，
∴點O不是∠ACB的平分線的中點，
∵EF∥AB，
∴E，F一定不是AC，BC的中點，故②錯誤；
∵點O在∠ACB的平分線上，
∴點O到AC的距離等于OD，
∴S△CEF=（CE+CF）OD=2ba=ab，故③正確；
綜上所述，正確的是①③．
故選：B．