Question

【題目】綜合與實踐

觀察猜想

如圖1，有公共直角頂點的兩個不全等的等腰直角三角尺疊放在一起，點在上，點在上.

（1）在圖1中，你發現線段，的數量關系是___________，直線，的位置關系是________.

操作發現

（2）將圖1中的繞點逆時針旋轉一個銳角得到圖2，這時（1）中的兩個結論是否成立？作出判斷并說明理由；

拓廣探索

（3）如圖3，若只把“有公共直角頂點的兩個不全等的等腰直角三角尺”改為“有公共頂角為（銳角）的兩個不全等等腰三角形”，繞點逆時針旋轉任意一個銳角，這時（1）中的兩個結論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）將圖1中的繞點逆時針旋轉一個銳角時，兩個結論成立.理由見解析；（3）結論成立；結論不成立.

【解析】

（1）根據△ABC和△ADE是等腰直角三角形，得到AB=AC，AD=AE，∠A=90°，即可得出結論；

（2）由旋轉的性質得到∠DAB=∠EAC．根據SAS證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等得出BD=CE．延長DB，交CE于點F，交AE于點O．由全等三角形對應角相等得到∠ADB=∠AEC．根據三角形內角和定理和對頂角相等，得到∠OFE=∠OAD=90°，即可得出結論．

（3）類似（2）可得BD=CE成立，BD⊥CE不成立．

（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠A=90°，∴BD=CE，BD⊥CE．

故答案為：BD=CE，BD⊥CE．

（2）將圖1中的△ABC繞點A逆時針旋轉一個銳角時，兩個結論成立．理由如下：

由旋轉得：∠DAB=∠EAC．

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD=CE．

如圖，延長DB，交CE于點F，交AE于點O．

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC．

∵∠AOD=∠EOF．

∴∠OFE=∠OAD．

∵∠OAD=90°，

∴∠DFE=90°，即BD⊥CE．

（3）結論BD=CE成立，結論BD⊥CE不成立．理由如下：

由旋轉得：∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC．

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD=CE．

延長DB交CE于M，BD與AE交于點N．

∵△ABD≌△ACE，∴∠MEA=∠BDA．

∵∠ENM=∠DNA，∴∠EMN=∠EAD．

∵∠EAD≠90°，∴∠EMN≠90°，∴BD⊥CE不成立．