Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，點E在AD上.

（1）求證：BE=CE；

（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其他條件不變.求證：EF=CF.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質就可以求出∠BAE=∠CAE，再證明△ABE≌△ACE就可以得出結論；

（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由條件證明△AEF≌△BCF就可以得出結論．

證明：(1)∵AB=AC，D是BC的中點，

∴∠EAB=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，

∵ ，

∴△ABE≌△ACE(SAS)，

∴BE=CE；

(2)∵BF⊥AF，

∴∠AFB=∠CFB=90°.

∵∠BAC=45°，

∴∠ABF=45°，

∴∠ABF=∠BAC，

∴AF=BF.

∵AB=AC，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，

，

∴△AEF≌△BCF(ASA)

∴EF=CF.