Question

【題目】問題提出：某段樓梯共有10個臺階，如果某同學在上臺階時，可以一步1個臺階，也可以一步2個臺階．那么該同學從該段樓梯底部上到頂部共有多少種不同的走法？

問題探究：

為解決上述實際問題，我們先建立如下數學模型：

如圖①，用若干個邊長都為1的正方形（記為1×1矩形）和若干個邊長分別為1和2的矩形（記為1×2矩形），要拼成一個如圖②中邊長分別為１和n的矩形（記為1×矩形），有多少種不同的拼法？（設表示不同拼法的個數）

為解決上述數學模型問題，我們采取的策略和方法是：一般問題特殊化．

探究一：先從最特殊的情形入手，即要拼成一個1×1矩形，有多少種不同拼法？

顯然，只有1種拼法，如圖③，即=1種．

探究二：要拼成一個1×2矩形，有多少種不同拼法？

可以看出，有2種拼法，如圖④，即=2種．

探究三：要拼成一個1×3矩形，有多少種不同拼法？

拼圖方法可分為兩類：一類是在圖④這2種1×2矩形上方，各拼上一個1×1矩形，即這類拼法共有=2種；另一類是在圖③這１種1×1矩形上方拼上一個1×2矩形，即這類拼法有=1種．如圖⑤，即=+= 2+1=3（種）．

探究四：仿照上述探究過程，要拼成一個1×4矩形，有多少種不同拼法？請畫示意圖說明并求出結果．

探究五：要拼成一個1×5矩形，仿照上述探究過程，得出=　　　　 種不同拼法．

（直接寫出結果，不需畫圖）．

問題解決：請你根據上述中的數學模型，解答“問題提出”中的實際問題．

（寫出解答過程，不需畫圖）．

Answer 1

【答案】探究四：5; 探究五:8,89

【解析】根據圖形中矩形組合規律得出A1×5=A1×3+A1×4，A1×n=A1×（n﹣1）+A1×（n﹣2），進而求出即可．

探究四：

拼圖方法可分為兩類：一類是在圖④這2種1×2矩形上方，各拼上一個1×2矩形，即這類拼法共有A1×2 =2種；另一類是在圖⑤這3種1×3矩形上方，各拼上一個1×1矩形，即這類拼法共有A1×3 =3種．如上圖，即A1×4 =+=3+2=5（種）．

探究五：∵A1×4=A1×2+A1×3=5，A1×5=A1×3+A1×4=3+5=8，∴要拼成一個1×5矩形，有8種不同拼法A1×5．

故答案為：8．

問題解決：∵樓梯共有10個臺階，如果某同學在上臺階時，可以一步1個臺階，也可以一步2個臺階∴A1×1=1種，即A1×3=A1×2+A1×1=2+1=3（種），A1×4=A1×3+A1×2=3+2=5（種），A1×5=8（種），∴A1×6=A1×4+A1×5=5+8=13，A1×7=A1×6+A1×5=13+8=21，∴A1×8=A1×6+A1×7=13+21=34，∴A1×9=A1×7+A1×8=21+34=55，∴A1×10=A1×8+A1×9=34+55=89．

答：該同學從該段樓梯底部上到頂部共有89種不同的走法．