Question

如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點D在邊BC上，且BD=4，以點D為頂點作∠EDF=∠B，分別交邊AB于點E，交AC或延長線于點F．
（1）當AE=6時，求AF的長；
（2）當以點C為圓心CF長為半徑的⊙C和以點A為圓心AE長為半徑的⊙A相切時，求BE的長；
（3）當以邊AC為直徑的⊙O與線段DE相切時，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）欲求AF的長可先求CF長．知道BD、，能求BE、CD，再證△BDE∽△CFD即可；
（2）（3）求BE的長關鍵弄清圓與圓位置關系、線與線位置關系，再運用圓心距與半徑關系容易解答．

解答：解：（1）∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠DEB．
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∴△CDF∽△BED．（1分）
∴

CF

BD

=

CD

BE

．
即

CF

4

=

8

10-6

．（1分）
∴CF=8．
∴AF=AC-CF=10-8=2．（1分）

（2）分外切和內切兩種情況考慮：
當⊙C和⊙A外切時，點F在線段CA上，且AF=AE，
∵AB=AC，
∴BE=CF．（1分）
∵

CF

BD

=

CD

BE

，
∴

BE

BD

=

CD

BE

．
即BE²=BD•CD=4×8=32，
∴BE=4

2

．（1分）
當⊙C和⊙A內切時，點F在線段AC延長線上，且AC=CF-AE，
∴BE=AB-AE=10-AE，CF=AC+AE=10+AE．（1分）
∵

CF

BD

=

CD

BE

，

10+AE

4

=

8

10-AE

，（1分）
解得AE=2

17

或AE=-2

17

（舍去），
∴BE=10-2

17

．（1分）
∴當⊙C和⊙A相切時，BE的長為4

2

或10-2

17

．


（3）取邊AC中點O，過點O分別作OG⊥DE，OQ⊥BC，垂足分別為G、Q；
過點A作AH⊥BC，垂足為H．（1分）
∵⊙O和線段DE相切，
∴OG=

1

2

AC=5．
在Rt△CAH中，∠AHC=90°，cosC=

CH

AC

=

6

10

=

3

5

，
在Rt△CQO中，∠CQO=90°，
∵cosC=

CQ

CO

，
∴CQ=COcosC=5×

3

5

=3．
∴DQ=8-3=5．
∴OG=DQ．（1分）
∵OD=DO，
∴Rt△OGD≌Rt△DQO．
∴∠GOD=∠QDO．
∴OG∥BC．
∴∠EDB=∠OGD=90°．（1分）
∴cosB=

BD

BE

=cosC=

3

5

．
∴BE=

4

3 5

=

20

3

．（3分）
∴當以邊AC為直徑的⊙O與線段DE相切時，BE=

20

3

．

點評：此題考查相似三角形的判定和性質及圓與圓的位置關系．