Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)做交于點(diǎn)，連接、.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.

(1)當(dāng)時(shí)，求的值；

(2)是否存在某一時(shí)刻，使得的面積是平行四邊形面積的？若存在，求出相應(yīng)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，是否存在某一時(shí)刻，使得在線段的垂直平分線上？若存在，求出相應(yīng)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，使得的面積是平行四邊形面積的；(3)當(dāng)時(shí)，使得在線段的垂直平分線上．

【解析】

（1）只要證明四邊形AQPD是平行四邊形，得AQ=PD，列出方程即可解決問(wèn)題．
（2）作交的延長(zhǎng)線于,過(guò)點(diǎn)作于,交于,則四邊形是矩形,表示出，，根據(jù)的面積是平行四邊形面積的,列出方程，即可求解.
（3）存在，只要證明CN=PC，根據(jù)PC+PD=CD列出方程即可解決問(wèn)題．

解：(1)∵PM⊥AD，PQ⊥PM，

∴PQ//AD，

∵四邊形是平行四邊形

∴

∴四邊形是平行四邊形

∴,

∴,

∴;

(2)作交的延長(zhǎng)線于,過(guò)點(diǎn)作于,交于,則四邊形是矩形,

∵在中, ,,,

∴

∵在中,,,,

∴

∵在中,,,,

∴

∴，

∴

在中，,

∴,

如圖,過(guò)作于

在中,

∴ ()

∴ ()

∵的面積是平行四邊形面積的,

∴ ，

∴，(不符合題意,舍去)

∴存在某一時(shí)刻,當(dāng)時(shí)，使得的面積是平行四邊形面積的．

(3)存在,理由如下：

∵在線段的垂直平分線上

∴

∴

∵,

∴四邊形是平行四邊形

∴

∵，

∴

∵

∴

∴,

∴,

∴,

∴

∴當(dāng)s時(shí)，使得P在線段MN的垂直平分線上．