Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC．

（1）求證：AC平分∠BAD；

（2）若AB=3，AC=2，求EC和PB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EC=，PB=．

【解析】

（1）連接OC，如圖，利用切線的性質得到OC⊥PE，則判斷OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠DAC=∠OAC；

（2）利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再利用勾股定理計算出BC=2，再證明Rt△ABC∽Rt△ACE，利用相似比計算出EC=，接著利用勾股定理計算出AE=，然后證明Rt△ABC∽Rt△ACE，從而利用相似比計算PB的長．

解：（1）證明：連接OC，如圖，

∵PE是⊙O的切線，

∴OC⊥PE，

∵AE⊥PE，

∴OC∥AE，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠BAD；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°

在Rt△ABC中，BC===1，

在Rt△ABC和Rt△ACE中，

∵∠DAC=∠OAC，∠AEC=∠ACB=90°，

∴Rt△ABC∽Rt△ACE，

∴AC：AB=EC：BC，即2：3=EC：1，

∴EC=；

在Rt△ACE中，AE===，

又∵OC∥AE，

∴Rt△ABC∽Rt△ACE，

∴OC：AE=PO：PA，即：=（PB+）：（PB+3），

∴PB=．