Question

【題目】如圖，已知直線：y＝kx+3k與x軸交于A點，與拋物線y＝+1交于點B、C兩點

（1）若k＝1，求點B、C（點B在點C的左邊）的坐標；

（2）過B、C分別作x軸的垂線，垂足分別為點D、E，求ADAE的值；

（3）將拋物線y＝+1沿直線y＝mx+1（m＞1）向右平移t個單位，直線y＝mx+1交y軸于S，交新拋物線于MT，N是新拋物線與y軸的交點，試探究t為何值時，NT∥x軸？

Answer 1

【答案】（1）點B、C的坐標分別為；（2）13；（3）t＝4m

【解析】

（1）聯立直線和拋物線表達式即可求解；

（2）設點BC的橫坐標分別為x1，x2，將直線表達式與拋物線表達式聯立用韋達定理求出：x1+x2＝4k，x1x2＝4﹣12k，ADAE＝（x1+3）（x2+3）即可求解；

（3）求出N（0，+mt+1）；再用韋達定理，求出點T的坐標（t+4m，mt+4m2+1），NT∥x軸，則yT＝yN，即可求解．

（1）k＝1時，聯立直線和拋物線表達式得：，解得：x＝2±2，

故：點B、C的坐標分別為（2﹣2，5﹣2）、（2+2，5+2）；

（2）設點BC的橫坐標分別為x1，x2，

y＝kx+3k，令y＝0，則x＝﹣3，即點A（﹣3，0），

將直線表達式：y＝kx+3k與拋物線表達式y＝+1聯立并整理得：

x2﹣4kx+（4﹣12k）＝0，

則：x1+x2＝4k，x1x2＝4﹣12k，

ADAE＝（x1+3）（x2+3）＝x1x2+3（x1+x2）+9＝4﹣12k+12k+9＝13；

（3）設拋物線沿直線向右平移t個單位，相當于同時向上移動了mt個單位，則點M坐標為（t，1+mt），

平移后的拋物線為：y＝（x﹣t）2+（1+mt）…①，則點N（0， +mt+1），

直線y＝mx+1（m＞1）…②，

將①②聯立并整理得：x2﹣2xt﹣4mx+t2+4mt＝0，

x1+x2＝2t+4m，

由題意得：x1＝xM＝t，

∴x2＝t+4m＝xT，

則點T的坐標為（t+4m，mt+4m2+1），

NT∥x軸，則yT＝yN，

即： +mt+1＝mt+4m2+1，

解得：t＝4m．