【題目】如圖，已知拋物線的頂點為A（1，4），拋物線與y軸交于點B（0，3），與x軸交于C，D兩點．點P是x軸上的一個動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當PA+PB的值最小時，求點P的坐標；
（3）拋物線上是否存在一點Q（Q與B不重合），使△CDQ的面積等于△BCD的面積？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；（2）當PA+PB的值最小時的點P的坐標為（
，0）；（3）點Q的坐標為（2，3）或（1﹣
，﹣3）或（1+，﹣3）．
【解析】
（1）設拋物線頂點式解析式y=a（x-1）2+4，然后把點B的坐標代入求出a的值，即可得解；（2）先求出點B關于x軸的對稱點B′的坐標，連接AB′與x軸相交，根據軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求的點P，然后利用待定系數法求一次函數解析式求出直線AB′的解析式，再求出與x軸的交點即可．（3）S△CDQ=S△BCD且CD是兩三角形的公共底邊知|yQ|=yB=3，據此得yQ=3或yQ=-3，再分別求解可得．
解：（1）∵拋物線的頂點為A（1，4），
∴設拋物線的解析式y=a（x﹣1）2+4，
把點B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=﹣1，
∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；
（2）點B關于x軸的對稱點B′的坐標為（0，﹣3），
由軸對稱確定最短路線問題，連接AB′與x軸的交點即為點P，
設直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），
則
，
解得
，
∴直線AB′的解析式為y=7x﹣3，
令y=0，則7x﹣3=0，
解得x=，
所以，當PA+PB的值最小時的點P的坐標為（，0）．
（3）∵S△CDQ=S△BCD，且CD是兩三角形的公共底邊，
∴|yQ|=yB=3，
則yQ=3或yQ=﹣3，
當yQ=3時，﹣（x﹣1）2+4=3，
解得：x=0或x=2，
則點Q（2，3）；
當yQ=﹣3時，﹣（x﹣1）2+4=﹣3，
解得：x=1﹣或x=1+，
則點Q坐標為（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
綜上，點Q的坐標為（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．
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【題目】如圖，直線
經過點
，
，與雙曲線
在第二象限內交于點
，且
的面積為
．
求直線的解析式及
的值；
試探究：在
軸上是否存在點
，使
為直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
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【題目】如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°，如果無人機距地面高度CD為
米，點A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點間的距離是_____米．（結果保留根號）
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【題目】如圖，A（0，8）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB.設P點的運動時間為t秒.
(1)若AB∥x軸，求t的值；
(2)當t=6時，坐標平面內有一點M（不與A重合），使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的坐標；
(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點D，使O、A、B、D為頂點的四邊形面積是104？如果存在，請求出點D的坐標，如果不存在，請說明理由；
(4)設點A關于x軸的對稱點為A，連接A′B，在點P運動的過程中∠OA′B的度數是否會發生變化，若不變，請求出∠OA′B的度數，若改變，請說明理由.
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【題目】為了解中學生“平均每天體育鍛煉時間”的情況，某地區教育部門隨機調查了若干名中學生，根據調查結果制作統計圖①和圖②，請根據相關信息，解答下列問題：
（1）本次接受隨機抽樣調查的中學生人數為_______，圖①中m的值是_____ ；
（2）求本次調查獲取的樣本數據的平均數、眾數和中位數；
（3）根據統計數據，估計該地區250000名中學生中，每天在校體育鍛煉時間大于等于1.5h的人數．
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【題目】甲、乙兩地之間的鐵路交通設有特快列車和普通快車兩種車次，某天一輛普通快車從甲地出發勻速向乙地行駛，同時另一輛特快列車從乙地出發勻速向甲地行駛，兩車離甲地的路程S（千米）與行駛時間t（時）之間的函數關系如圖所示．
（1）甲地到乙地的路成為________千米，普通快車到達乙地所用時間為_______小時．
（2）求特快列車離甲地的路程s與t之間的函數關系式．
（3）在甲、乙兩地之間有一座鐵路橋，特快列車到鐵路橋后又行駛0.5小時與普通快車相遇，求甲地與鐵路橋之間的路程．
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【題目】桌面上放有4張卡片，正面分別標有數字1，2，3，4，這些卡片除數字外完全相同．把這些卡片反面朝上洗勻后放在桌面上，甲從中任意抽出一張，記下卡片上的數字后仍放反面朝上放回洗勻，乙從中任意抽出一張，記下卡片上的數字，然后將這兩數相加．
（1）請用列表或畫樹狀圖的方法求兩數和為5的概率；
（2）若甲與乙按上述方式做游戲，當兩數之和為5時，甲勝；反之則乙勝；若甲勝一次得12分，那么乙勝一次得多少分，才能使這個游戲對雙方公平？
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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E為BC的中點，連接DE.
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若∠BAC＝30°，DE＝3，求AD的長．
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【題目】某商品的進價為每件50元．當售價為每件70元時，每星期可賣出300件，現需降價處理，且經市場調查：每降價1元，每星期可多賣出20件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：
（1）若設每件降價x元、每星期售出商品的利潤為y元，請寫出y與x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？
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