Question

【題目】將的邊繞點順時針旋轉得到，邊繞點逆時針旋轉得到，，連接，作的中線．

圖① 圖② 圖③

（初步感知）

(1)如圖①，當，時，的長為　 　；

（探究運用）

(2)如圖②，為任意三角形時，猜想與的數量關系，并證明．

（應用延伸）

(3)如圖③，已知等腰，，延長到，延長到，使，將繞點順時針旋轉一周得到，連接、，若，求的長度(用含、的代數式表示)．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)，證明見解析；(3).

【解析】

（1）只要證明BC=B′C′=4，再利用直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題；

（2）如圖①中，延長AD到E，使得DE=AD．連接EB′，EC′．只要證明△AB′E≌△BAC，即可解決問題；

（3）分兩種情形，利用（2）中結論以及勾股定理計算即可；

(1)，

，

，

，

，，

，

，

是直角三角形斜邊的中線，

．

故答案為．

(2)證明：如圖中，延長到，使得．連接，．

，，

四邊形是平行四邊形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

．

(3)①如圖中，作的中線．

在中，，

，

在中，，

由(2)可知：．

②如圖中，作的中線，延長到，使得．

同法可證：，

，

由①可知，，

．