Question

【題目】如圖，⊙O為△ABC的外接圓，D為OC與AB的交點，E為線段OC延長線上一點，且∠EAC＝∠ABC．

（1）求證：直線AE是⊙O的切線．

（2）若D為AB的中點，CD＝6，AB＝16

①求⊙O的半徑；

②求△ABC的內心到點O的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②5．

【解析】

(1)連接AO，并延長AO交⊙O于點F，連接CF，由圓周角定理可得∠ACF＝90°，可得∠F+∠FAC＝90°，由∠EAC＝∠ABC，可得∠EAC+∠FAC＝90°，即可得結論；

(2)①由垂徑定理可得OD⊥AB，AD＝BD＝8，由勾股定理可求⊙O的半徑；

②作∠CAB的平分線交CD于點H，連接BH，過點H作HM⊥AC，HN⊥BC，由角平分線的性質可得HM＝HN＝HD，由三角形的面積公式可求HD的值，即可求△ABC的內心到點O的距離．

解：(1)證明：連接AO，并延長AO交⊙O于點F，連接CF

∵AF是直徑

∴∠ACF＝90°

∴∠F+∠FAC＝90°，

∵∠F＝∠ABC，∠ABC＝∠EAC

∴∠EAC＝∠F

∴∠EAC+∠FAC＝90°

∴∠EAF＝90°，且AO是半徑

∴直線AE是⊙O的切線．

(2)①如圖，連接AO，

∵D為AB的中點，OD過圓心，

∴OD⊥AB，AD＝BD＝AB＝8，

∵AO2＝AD2+DO2，

∴AO2＝82+（AO﹣6）2，

∴AO＝，

∴⊙O的半徑為；

②如圖，作∠CAB的平分線交CD于點H，連接BH，過點H作HM⊥AC，HN⊥BC，

∵OD⊥AB，AD＝BD

∴AC＝BC，且AD＝BD

∴CD平分∠ACB，且AH平分∠CAB

∴點H是△ABC的內心，且HM⊥AC，HN⊥BC，HD⊥AB

∴MH＝NH＝DH

在Rt△ACD中，AC＝，

∵S△ABC＝S△ACH+S△ABH+S△BCH，

∴×16×6＝×10×MH+×16×DH+×10×NH，

∴DH＝，

∵OH＝CO﹣CH＝CO﹣（CD﹣DH），

∴OH＝﹣（6﹣）=5．