Question

【題目】如圖，在正方形 ABCD 中，點 E 是對角線 BD 上一動點，AE 的延長線交 CD 于點 F，交 BC 的延長線于點 G，M 是 FG 的中點.

(1)求證： ∠DAE=∠DCE；

(2)判斷線段 CE 與 CM 的位置關系，并證明你的結論；

(3)當，并且恰好是等腰三角形時，求 DE 的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EC⊥MC， 理由見解析；（3）DE=

【解析】（1）首先根據正方形的性質可得AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°,再有DE是公共邊,可以利用SAS判定△ADE和△CDE全等；

（2）由AD∥BG得∠DAE=∠G，由M 是 FG 的中點得MC=MG=MF，可求得∠DCE=∠MCG，由∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°可得∠ECM=∠DCE+∠FCM=90°，從而EC⊥MC；

（3）由題意可知CE=CG，由∠MCG=∠G，∠EMC=2∠G可求得∠G=30°. 過點 E 作 EH⊥AD 于 H，設 EH=x，利用勾股定理表示出AH，根據AD=AH+DH列方程求出x,進而可求出DE的長.

（1）證明：∵四邊形 ABCD 是正方形，

∴∠ADE=∠CDE，AD=CD， 在△ADE 與△CDE，

，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴∠DAE=∠DCE；

（2）EC⊥MC， 理由如下：

∵AD∥BG，

∴∠DAE=∠G，

∵M 是 FG 的中點，

∴MC=MG=MF，

∴∠G=∠MCG， 又∵∠DAE=∠DCE，

∴∠DCE=∠MCG，

∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，

∴∠ECM=∠DCE+∠FCM=90°，

∴EC⊥MC；

（3）∵∠FCG=90°，

∴∠ECG 一定是鈍角，

∴△CEG 若為等腰三角形必有 CE=CG，

∴∠CEM=∠G，

∵，

∴∠MCG=∠G， 又∵∠EMC=∠MCG+∠G，

∴∠EMC=2∠G，

∵∠ECM=90°，

∴∠CEM+∠EMC=90°，

∴∠G+2∠G=90°，

∴∠G=30°，

∴∠AFD=∠CFG=90°-∠G=90°-30°=60°，

∴∠DAE=90°-∠AFD=90°-60°=30°， 過點 E 作 EH⊥AD 于 H，設 EH=x，

∴∠EHA=∠EHD=90°，

∵在 Rt△EFA 中，∠DAE=30°，

∴AE=2EH=2x，

∴，

∵在 Rt△EHD 中，∠ADE=45°，

∴DH=EH=x，

∴，

∴，

∴x=1，

∴．