Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為BC邊上的點，反比例函數y= （k≠0）在第一象限內的圖象經過點D（m，2）和AB邊上的點E（3， ）．
（1）求反比例函數的表達式和m的值；
（2）將矩形OABC的進行折疊，使點O于點D重合，折痕分別與x軸、y軸正半軸交于點F，G，求折痕FG所在直線的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函數y= （k≠0）在第一象限內的圖象經過點E（3， ），

∴k=3× =2，

∴反比例函數的表達式為y= ．

又∵點D（m，2）在反比例函數y= 的圖象上，

∴2m=2，解得：m=1

（2）解：設OG=x，則CG=OC﹣OG=2﹣x，

∵點D（1，2），

∴CD=1．

在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，

∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，

解得：x= ，

∴點G（0， ）．

過點F作FH⊥CB于點H，如圖所示．

由折疊的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．

∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90°，

∴△GCD∽△DHF，

∴ =2，

∴DF=2GD= ，

∴點F的坐標為（ ，0）．

設折痕FG所在直線的函數關系式為y=ax+b，

∴有 ，解得： ．

∴折痕FG所在直線的函數關系式為y=﹣ x+

【解析】（1）由點E的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值，再由點B在反比例函數圖象上，代入即可求出m值；（2）設OG=x，利用勾股定理即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，從而得出點G的坐標．再過點F作FH⊥CB于點H，由此可得出△GCD∽△DHF，根據相似三角形的性質即可求出線段DF的長度，從而得出點F的坐標，結合點G、F的坐標利用待定系數法即可求出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解矩形的性質(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)．