Question

【題目】如圖，是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，拋物線的頂點坐標是A（1，n），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2=mx+d（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論：

①3a+b=0，②方程ax2+bx+c+1=n有兩個相等的實數根，③b2=4a（c﹣n），④當1＜x＜4時，有y2＞y1，⑤ax2+bx≤a+b，其中正確的結論是____（只填寫序號）．

Answer 1

【答案】③⑤．

【解析】

利用拋物線的對稱軸，可對①進行判斷；結合圖象可知拋物線與直線有兩個公共點，可對②進行判斷；由拋物線與直線，只有一個公共點（1，n）,可知相應的方程ax2+bx+c=n有兩個相等的實數根，利用一元二次方程根的判別式可對③進行判斷；利用函數圖象確定函數y2圖象在y1上方時所對的x值范圍，可對④進行判斷；根據二次函數的最大值可對⑤進行判斷.

解：∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①錯誤；

∵拋物線的頂點為（1，n），∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n﹣1有兩個公共點，∴方程ax2+bx+c+1=n有兩個不相等的實數根，所以②錯誤；

∵直線y=n與拋物線只有一個公共點（1，n），∴方程ax2+bx+c=n有兩個相等的實數根，∴b2﹣4a（c﹣n）=0，即b2=4a（c﹣n），所以③正確；

∵拋物線與直線y2=mx+d（m≠0）與拋物線交于A（1，n），B（4，0），∴當1＜x＜4時，有y1＞y2，所以④錯誤；

∵拋物線的頂點坐標為（1，n），∴當x=1時，函數值最大，最大值為a+b+c，∴ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，所以⑤正確．

故答案為：③⑤．