Question

【題目】已知射線是的角平分線，，點是射線上的點，連接.

(1)如圖1，當點在射線上時，連接，.若，則的形狀是_____.

(2)如圖2，當點在射線的反向延長線上時，連接，.若，則(1)中的結論是否成立？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)等邊三角形；(2)成立，理由見解析.

【解析】

（1）利用四邊形的內角和即可得出∠BCD的度數，再利用角平分線的性質定理即可得出CB，即可得出結論；

（2）作CE⊥AM于E，作CF⊥AN于F，根據角平分線的性質得到 CE=CF，

再根據∠ABC=∠ADC，證明△BCF≌△DCE，得到BC=CD即可證明.

（1）∵射線AC是∠MAN的角平分線，∠NAC＝60°，

∴∠MAN＝120°，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

根據四邊形的內角和得，∠BCD＝360°（∠ABC＋∠ADC＋∠MAN）＝60°，

∵AC是∠MAN的平分線，CD⊥AM．CB⊥AN，

∴CD＝CB（角平分線的性質定理），

∴△BCD是等邊三角形；

（2）成立，如圖所示，作CE⊥AM于E，作CF⊥AN于F，

∵AC是∠NAM的角平分線，CE⊥AM，CF⊥AN，

∴CE=CF，

∵∠ABC=∠ADC，

∴△BCF≌△DCE，

∴BC=CD，

∵∠BCD=∠BAD=60°，

∴△BCD是等邊三角形.