Question

【題目】如圖，直線l：y=-x+4與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P(m，5)為直線l上一點.動點C從原點O出發，以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動.設點C的運動時間為t秒.

（1）①m= ；

②當t= 時，△PBC的面積是1.

（2）請寫出點C在運動過程中，△PBC的面積S與t之間的函數關系式；

（3）點D、E分別是直線AB、x軸上的動點，當點C運動到線段QB的中點時(如右圖)，△CDE周長的最小值是 .

Answer 1

【答案】(1)1；2或6(2)見解析（3）2．

【解析】

（1）①把點P（m，5）代入y＝x＋4即可求得；

②得到B的坐標，表示出BC，根據三角形面積公式得到關于t的方程，解得即可；

（2）根據三角形面積公式列出即可；

（3）作點C關于AB的對稱點F，關于AO的對稱點G，連接DF，EG，由軸對稱的性質，可得DF＝DC，EC＝EG，故當點F，D，E，G在同一直線上時，△CDE的周長＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此時△DEC周長最小，依據勾股定理即可得到FG的長，進而得到△CDE周長的最小值．

（1）①∵點P（m，5）為直線l上一點，

∴5＝m＋4，

解得m＝1，

故答案為1；

②由直線l：y＝x＋4可知A（4，0），B（0，4），

由題意可知：BC＝4t或BC＝t4，

∵S△PBC＝BC|xP|＝1，

∴ (4t)×1＝1或（t4）×1＝1，

解得t＝2或t＝6；

故答案為2或6；

（2）∵BC＝4t或BC＝t4，

∴△PBC的面積S與t的函數關系式為S＝

（3）如圖，作點C關于AB的對稱點F，關于AO的對稱點G，連接DF，EG，

∵點C是OB的中點，

∴BC＝CO＝2，OG＝2，BG＝6，

易得∠ABC＝45°，

∴△BCF是等腰直角三角形，

∴BF＝BC＝2，

由軸對稱的性質，可得DF＝DC，EC＝EG，

當點F，D，E，G在同一直線上時，△CDE的周長＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，

此時△DEC周長最小，

∵Rt△BFG中，FG＝，

∴△CDE周長的最小值是2．

故答案為2．

【點晴】

本題是一次函數的綜合題，考查了一次函數圖象上的點的坐標特征，待定系數法求解析式，等腰三角形的性質，三角形的面積，軸對稱最短路線問題，解題的關鍵是利用對稱性在找到△CDE周長的最小時點D、點E位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，多數情況要作點關于某直線的對稱點．