Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為CD上一點，若△ADE沿直線AE翻折，使點D落在BC邊上點D′處．F為AD上一點，且DF＝CD'，EF與BD相交于點G，AD′與BD相交于點H．D′E∥BD，HG＝4，則BD＝__．

Answer 1

【答案】6+2．

【解析】

由折疊的性質得AD′＝AD，D′E＝DE，∠ADE＝∠AD′E＝90°，證明△CD′E～△BAD′，得出，得出 ，證明△EDF∽△DAB，得出∠FED＝∠ADB，證明四邊形HGED′是矩形，得出∠GED'＝90°，HG＝ED′＝DE＝4，設EC＝y，CD′＝x，證明△DGE≌△ECD′（AAS），得出DG＝CE＝y，EG＝CD′＝HD′＝x，同理△BHD′∽△D′CE，得出 ，BH＝，BD＝BH+GH+DG＝y+4+ ，同理△DFE∽△CED′，得出 ，得出x2＝4y，由勾股定理得出x2+y2＝16，得出y2+4y﹣16＝0，解方程即可．

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠ABD′＝∠BAD＝∠ADC＝90°，

由折疊的性質得：AD′＝AD，D′E＝DE，∠ADE＝∠AD′E＝90°，

∴AD′⊥D′E，

∵D′E∥BD，

∴BD⊥AD′，

∴∠GHD′＝∠HD′E＝90°，

∴∠ED′C+∠BD′A＝90°，

∵∠BAD′+∠BD′A＝90°，

∴∠ED′C＝∠BAD′，

∵∠C＝∠ABD′，

∴△CD′E～△BAD′，

∴，

∵CD′＝DF，

∴，

∵∠EDF＝∠BAD＝90°，

∴△EDF∽△DAB，

∴∠FED＝∠ADB，

∵∠ADB+∠BDC＝90°，

∴∠FED+∠BDC＝90°，

∴∠DGE＝90°，

∴∠GHD′＝∠HD′E＝∠HGE＝90°，

∴四邊形HGED′是矩形，

∴∠GED'＝90°，HG＝ED′＝DE＝4，

設EC＝y，CD′＝x，

∵∠DEG+∠D'EC＝∠D'EC+∠CD'E＝90°，

∴∠DEG＝∠CD'E，

在△DGE和△ECD'中，，

∴△DGE≌△ECD′（AAS），

∴DG＝CE＝y，EG＝CD′＝HD′＝x，

同理△BHD′∽△D′CE，

∴，

∴，

∴BH＝，

∴BD＝BH+GH+DG＝y+4+，

同理△DFE∽△CED′，

∴，

∴，

∴x2＝4y，

∵x2+y2＝16，

∴y2+4y﹣16＝0，

∴y＝﹣2+2，或y＝﹣2﹣2（舍棄），

∴BD＝﹣2+2+4+4＝6+2；

故答案為：6+2．