Question

【題目】已知拋物線．

（1）求拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標；

（2）將拋物線向下平移，得拋物線，使拋物線的頂點落在直線上．

①求拋物線的解析式；

②拋物線與軸的交點為，（點在點的左側），拋物線的對稱軸于軸的交點為，點是線段上的一點，過點作直線軸，交拋物線于點，點關于拋物線對稱軸的對稱點為，點是線段上一點，且，連接，作交軸于點，且，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線開口向上，對稱軸為：直線，頂點坐標為；（2）①；②點坐標為．

【解析】

（1）把二次函數的解析式配成頂點式，即可得到答案；

（2）①設拋物線的解析式為：，把拋物線的頂點坐標代入，求出m的值，即可得到答案；②連接，由AAS證明，設點坐標為，得，，結合，可得關于t的方程，求出t的值，從而求出的值，進而即可求解．

（1），

∴拋物線開口向上，對稱軸為：直線，頂點坐標為；

（2）①設拋物線的解析式為：，

則拋物線的頂點坐標為，

拋物線的頂點落在直線上，

，解得：，

∴拋物線的解析式為：；

②如圖，連接，

由①可得拋物線的解析式為：，

令可得：，解得：或，

點在點的左側，

，，

點關于拋物線對稱軸對稱點為，且軸，

，

，

，

，

，

在和中，

∵

，

，，

設點坐標為，

點在線段上，

，

，

∵，

∴，

，

，解得：或（不合題意，舍去），

，，

，，

，

，

，

點坐標為．