Question

【題目】如圖，平面內的兩條直線l1、l2,點A、B在直線l2上，過點A、B兩點分別作直線l1的垂線，垂足分別為A1、B1，我們把線段A1B1叫做線段AB在直線l2上的正投影，其長度可記作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特別地，線段AC在直線l2上的正投影就是線段A1C，請依據上述定義解決如下問題.

（1）如圖1，在銳角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，則T（BC，AB）= ；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面積；

（3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠A=60°，點D在AB邊上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.

Answer 1

【答案】（1）2 ；（2）△ABC的面積=39；（3）T（BC，CD）=

【解析】

(1)如圖1，過C作CH⊥AB，根據正投影的定義求出BH的長即可；

(2)如圖2，過點C作CH⊥AB于H，由正投影的定義可知AH=4，BH=9，再根據相似三角形的性質求出CH的長即可解決問題；

(3)如圖3，過C作CH⊥AB于H，過B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.

(1)如圖1，過C作CH⊥AB，垂足為H，

∵T(AC，AB)=3，

∴AH=3，

∵AB=5，

∴BH=AB-AH=2，

∴T(BC，AB)=BH=2，

故答案為：2；

(2)如圖2，過點C作CH⊥AB于H，

則∠AHC=∠CHB=90°，

∴∠B+∠HCB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°

∴∠A=∠HCB，

∴△ACH∽△CBH，

∴CH：BH=AH：CH，

∴CH2=AH·BH，

∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，

∴AH=4，BH=9，

∴AB=AH+BH=13，CH=6，

∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；

(3)如圖3，過C作CH⊥AB于H，過B作BK⊥CD于K，

∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，

∴AC=2，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=∠BDK=30°，

∴CD=AC·tan60°=2，AD=2AC=4，AH=AC=1，

∴DH=4-1=3，

∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，

∴BH=6，

∴DB=BH-DH=3，

在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，

∴DK=BD·cos30°=，

∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=+=.