Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線與直徑CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知AE=AC．

（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若ED=1，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OA，

∵AE是⊙O的切線，

∴OA⊥AE，

∵AE=AC，OA=OC，

∴∠E=∠ACE=∠OAC，

∵∠BAC+∠E+∠ACE=180°，

∴90°+3∠E=180°，

∴∠E=∠ACE=∠OAC=30°，

∴∠AOC=90°+30°=120°，

∴ 的度數(shù)為120°， 的度數(shù)為240°，

∴∠B=120°

（2）解：∵在直角三角形OAE中，∠E=30°，

∴OE=2OA，

∵OA=OD，

∴OA=OD=OE=1，

∴OE=2，

∴AE= = ．

【解析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出OA⊥AE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠E=∠ACE=∠OAC=30°，得出∠AOC=120°，從而求得 的度數(shù)為120°， 的度數(shù)為240°，即可求得∠B=120°；（2）根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)得出OE=2OA=2OD，得出OD=ED=1，得出EO=2，根據(jù)勾股定理即可求得AE．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑才能正確解答此題．