Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，CA平分∠DCB，∠ADC=∠BAC=90°．

（1）求證：AC2=BCDC；
（2）若BC=5，DC=1，求線段AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CA平分∠DCB，

∴∠ACB=∠ACD，

∵∠ADC=∠BAC=90°，

∴△ABC∽△DAC，

，

∴AC2=BCDC

（2）解：由（1）知，AC2=BCDC，

∵BC=5，DC=1，

∴AC2=5×1=5，

∵∠ADC=90°，

AD= = =2

【解析】（1）由CA平分∠DCB，可推得∠ACB=∠ACD，又由于∠ADC=∠BAC，可證得△ABC∽△DAC，根據相似三角形的性質即可推出結論；（2）由（1）可推出AC2=5×1=5，根據勾股定理可求AD．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．