Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AC的中點M關于BC的對稱點為點O，將△ABC繞點O順時針旋轉至△DCE，連接BD，BE，

（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋轉角的是　 　（填寫序號即可）；

（2）判斷∠A和∠BEC的數量關系，并證明；

（3）點N是BD的中點，連接MN，若MN＝2，求BE的值．

Answer 1

【答案】（1）③；

（2）∠A＝∠BEC，理由見解析；

（3）BE＝4．

【解析】

（1）根據旋轉的性質即可得出結論；

（2）先判斷出MA=MB=MC=AC，進而得出∠A=∠ABM=α，即：∠BMC=∠A+∠ABM=2α，再判斷出∠BOC=∠BMC=2α，判斷出點C，B，E在以O為圓心，OB為半徑的圓上，即可得出結論；

（3）先判斷出∠DEC=∠ACB=90°-α，再判斷出∠MBC=∠ACB=90°-α，進而判斷出∠MBE+∠BED=180°，得出BF∥DE，即可判斷出四邊形BFDE是平行四邊形，即可得出結論．

解：（1）如圖1，連接OA，OD，OE，

由旋轉知，旋轉角為∠BOC＝∠AOD＝∠COE，

故答案為③；

（2）∠A＝∠BEC，

理由如下：

如圖2，連接BM，OE，

設∠A＝α，

在Rt△ABC中，點M是AC中點，

∴MA＝MB＝MC＝AC，

∴∠A＝∠ABM＝α，

∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝2α，

∵點M和點O關于直線BC對稱，

∴∠BOC＝∠BMC＝2α，

∵OC＝OB＝OE，

∴點C，B，E在以O為圓心，OB為半徑的圓上，

∴∠BEC＝∠BOC＝α

∴∠A＝∠BEC；

（3）如圖3，連接BM并延長至點F，使BM＝MF，連接FD，

∵∠A＝α，∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣α，

∴∠DEC＝∠ACB＝90°﹣α，

由（2）知，∠BEC＝α，

∴∠BED＝∠BEC+∠DEC＝90°，

∵BC＝CE，

∴∠CBE＝∠CEB＝α，

∵MB＝MC，

∴∠MBC＝∠ACB＝90°﹣α，

∴∠MBE＝∠MBC+∠CBE＝90°，

∴∠MBE+∠BED＝180°，

∴BF∥DE，

∵BF＝2BM，AC＝2BM，

∴BF＝AC，

∵AC＝DE，

∴BF＝DE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∴DF＝BE，

∵BM＝MF，BN＝ND，

∴MN＝DF，

∴MN＝BE，

∴BE＝2MN＝4．