Question

【題目】在學習了圖形的旋轉知識后，數學興趣小組的同學們又進一步對圖形旋轉前后的線段之間、角之間的關系進行了探究．

（一）嘗試探究
如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，點E、F分別在線段BC、CD上，∠EAF=30°，連接EF．
（1）如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉60°后得到△A′B′E′（A′B′與AD重合），請直接寫出∠E′AF=度，線段BE、EF、FD之間的數量關系為 ．
（2）如圖3，當點E、F分別在線段BC、CD的延長線上時，其他條件不變，請探究線段BE、EF、FD之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）30；BE+DF=EF
（2）解：如圖3，在BE上截取BG=DF，連接AG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG=∠DAF，且AG=AF，

∵∠DAF+∠DAE=30°，

∴∠BAG+∠DAE=30°，

∵∠BAD=60°，

∴∠GAE=60°﹣30°=30°，

∴∠GAE=∠FAE，

在△GAE和△FAE中，

，

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE=FE，

又∵BE﹣BG=GE，BG=DF，

∴BE﹣DF=EF，

即線段BE、EF、FD之間的數量關系為BE﹣DF=EF

（二）拓展延伸

如圖4，在等邊△ABC中，E、F是邊BC上的兩點，∠EAF=30°，BE=1，將△ABE繞點A逆時針旋轉60°得到△A′B′E′（A′B′與AC重合），連接EE′，AF與EE′交于點N，過點A作AM⊥BC于點M，連接MN，求線段MN的長度．

解：如圖4，將△ABE繞點A逆時針旋轉60°得到△A′B′E′，則

AE=AE′，∠EAE′=60°，

∴△AEE′是等邊三角形，

又∵∠EAF=30°，

∴AN平分∠EAF，

∴AN⊥EE′，

∴直角三角形ANE中， = ，

∵在等邊△ABC中，AM⊥BC，

∴∠BAM=30°，

∴ = ，且∠BAE+∠EAM=30°，

∴ = ，

又∵∠MAN+∠EAM=30°，

∴∠BAE=∠MAN，

∴△BAE∽△MAN，

∴ = ，即 = ，

∴MN=

【解析】解：（一）（1）如圖2，將△ABE繞點A逆時針旋轉60°后得到△A′B′E′，則
∠1=∠2，BE=DE′，AE=AE′，
∵∠BAD=60°，∠EAF=30°，
∴∠1+∠3=30°，
∴∠2+∠3=30°，即∠FAE′=30°
∴∠EAF=∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，
，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，即EF=DF+DE′，
∴EF=DF+BE，即線段BE、EF、FD之間的數量關系為BE+DF=EF，
所以答案是：30，BE+DF=EF；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．