Question

5．如圖，點C為線段AE上任意一點，在AE同側分別作等邊三角形△ABC和等邊三角形△CDE，連接AD，BE分別交BC，CD于點M，N，連接MN，則下列結論：
①AD=BE；②AM=BN；③MN∥AE；④∠APE=120°；⑤△CMN是等邊三角形；其中正確的結論有（　　）

• A． ①②③④⑤
• B． ①③④⑤
• C． ①②④⑤
• D． ①②③⑤

Answer 1

分析 由△ACD≌△BCE得AD=BE、∠CBE=∠DAC知①正確，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CNB≌△CMA（ASA），再根據∠MCN=60°推出△CMN為等邊三角形，又由∠MNC=∠DCE，根據內錯角相等，兩直線平行，可知③⑤正確；根據△CNB≌△CMA（ASA），可知②正確；利用等邊三角形的性質，BC∥DE，再根據平行線的性質得到∠CBE=∠DEP，于是∠APB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEP=∠DEC=60°，可知④正確；

解答 解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，AD=BE，故①正確；
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACM=∠BCN，
在△CNB和△CMA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CBN}\\{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\end{array}\right.$，
∴△CNB≌△CMA（ASA），
∴CM=CN，
又∵∠MCN=60°可知△CMN為等邊三角形，故⑤正確；
∴∠MNC=∠DCE=60°，
∴MN∥AE，故③正確，
∵△CNB≌△CMA，
∴AM=BN，故②正確；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEP，
∴∠APB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEP=∠DEC=60°，
∴∠APE=120°，故④正確．
正確的有：①②③④⑤．
故選：A．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，根據全等三角形的判定與性質找到不變量，是解題的關鍵．