Question

【題目】如圖，平面內一定點A在直線MN的上方，點O為直線MN上一動點 ，作射線OA、OP、OA’，當點O在直線MN上運動時，始終保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A’OP，將射線OA繞點O順時針旋轉60°得到射線OB

（1）如圖，當點O運動到使點A在射線OP的左側，若OB平分∠A’OP，求∠AOP的度數；

（2）當點O運動到使點A在射線OP的左側，∠AOM=3∠A’OB時，求的值；

（3）當點O運動到某一時刻時，∠A’OB=150°，直接寫出∠BOP= 度.

Answer 1

【答案】(1) ∠AOP=40°；(2) 或6； (3) 105或135.

【解析】試題分析：

（1）由題意易得：∠AOB=60°，∠AOP=∠A′OP=2∠POB，由此可得∠AOP+∠POB=3∠POB=60°，這樣解得∠POB=20°，即可得到∠AOP=40°；

（2）①當射線OB在∠A′OP的內部時，如圖1，設∠A′OB= ，則∠AOM=，∠AON=，∠AOA′= ，由此可得∠AOP=∠A′OP=，由∠AOM+∠AOP=∠MOP=90°可得，解得，由此即可求得∠AON和∠AOP，從而可求得它們的比值；

②當射線OB在∠AON的內部時，如圖2，設∠A′OB= ，則∠AOM=，∠AON=，∠AOA′= ，由此可得∠AOP=∠A′OP=，由∠AOM+∠AOP=∠MOP=90°可得，解得，由此即可求得∠AON和∠AOP，從而可求得它們的比值；

（3）如圖3，當∠A′OB=150°時，易得∠A′OA=150°-60°=90°，結合∠AOP=∠A′OP可得∠AOP=45°，從而可得∠BOP=60°+45°=105°；如圖4，當∠A′OB=150°時，易得∠A′OA=360°-150°-60°=150°，結合∠AOP=∠A′OP可得∠AOP=75°，從而可得∠BOP=60°+75°=135°；

試題解析：

（1）由題意可得：∠AOB=60°，∠AOP=∠A′OP，

∵OB平分∠A′OP，

∴∠A′OP=2∠POB，

∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB，

∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°，

∴∠POB=20°，

∴∠AOP=2∠POB=40°；

(2)①當點O運動到使點A在射線OP的左側，且射線OB在在∠A′OP的內部時，如圖1，

設∠A′OB=x，則∠AOM=3∠A′OB=3x，∠AOA′= ，

∵OP⊥MN，

∴∠AON=180°-3，∠AOP=90°-3x，

∴，

∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=∠A′OP=

∴，解得： ，

∴；

②當點O運動到使A在射線OP的左側，但是射線OB在∠A′ON內部時，如圖2，

設∠A′OB=x，則∠AOM=3x，∠AON=，∠AOA′= ，

∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=∠A′OP=，

∵OP⊥MN，

∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x，

∴，解得： ，

∴ ；

（3）①如圖3，當∠A′OB=150°時，

由圖可得：∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°，

又∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=45°，

∴∠BOP=60°+45°=105°；

②如圖4，當∠A′OB=150°時，由圖可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°，

又∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=75°，

∴∠BOP=60°+75°=135°；

綜上所述：∠BOP的度數為105°或135°.