Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面內任取一點D，連結AD（AD＜AB），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE，連結DE，CE，BD．

（1）請根據題意補全圖1；

（2）猜測BD和CE的數量關系并證明；

（3）作射線BD，CE交于點P，把△ADE繞點A旋轉，當∠EAC=90°，AB=2，AD=1時，補全圖形，直接寫出PB的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）BD=CE；（3）PB的長是或．

【解析】試題分析：（1）根據題意畫出圖形即可；（2）根據“SAS”證明△ABD≌△ACE，從而可得BD=CE;（3）①根據“SAS”可證△ABD≌△ACE,從而得到∠ABD=∠ACE,再由兩角對應相等的兩個三角形相似可證△ACD∽△PBE,列比例方程可求出PB的長；②與①類似，先求出PD的長，再把PD和BD相加.

解：（1）如圖

（2）BD和CE的數量是：BD=CE ；

∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠CAE．

∵AD=AE，AB=AC，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．

（3）①CE= .

∵△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠ACE,

∴△ACD∽△PBE,

,

∴ ;

②∵△ABD∽△PDC,

,

∴ ;

∴PB=PD+BD= .

∴PB的長是或．