Question

【題目】如圖，在□ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．

（2）如果四邊形ABCD是菱形，求證：四邊形AECF也是菱形．

（3）如果四邊形ABCD是矩形，請判斷四邊形AECF的形狀，不必寫出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）四邊形AECF是平行四邊形．

【解析】

（1）根據兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行四邊形；（2）根據對角線互相垂直的四邊形是菱形即可證明；

（3）因為矩形的對角線相等，根據對角線互相平分的四邊形可判定AECF的形狀．

證明：（1）如圖，連AC，設AC、BD相交于點O，

，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵BE=FD，

∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即AC⊥EF；

由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形，

∴四邊形AECF是菱形；

（3）∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵BE=FD，

∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，

∴四邊形AECF是平四邊形．