Question

已知a，b，c為實數，且多項式x³+ax²+bx+c能被多項式x²+3x-4整除，
（1）求4a+c的值；
（2）求2a-2b-c的值；
（3）若a，b，c為整數，且c≥a＞1，試確定a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）由于多項式x³+ax²+bx+c能被多項式x²+3x-4整除，則說明x²+3x-4=0，求出的x也能使x³+ax²+bx+c=0，從而得到關于a、b、c的兩個等式，對兩個等式變形，可得4a+c=12③；
（2）由③可得a=3-

c

4

④，把④代入①，可得b=-4-

3

4

c⑤，然后把④⑤同時代入2a-2b-c即可求值；
（3）由于c≥a＞1，又a=3-

c

4

，可知1＜3-

c

4

＜3，解即可求出c的范圍，但是a、c是大于1的正整數，且a=3-

c

4

，可求出c，從而求出a、b．

解答：解：（1）∵x²+3x-4是x³+ax²+bx+c的一個因式，
∴x²+3x-4=0，即x=-4，x=1是方程x³+ax²+bx+c=0的解，
∴

a+b+c=-1…① 16a-4b+c=64…②

，
①×4+②得4a+c=12③；

（2）由③得a=3-

c

4

，④
代入①得b=-4-

3

4

c⑤，
∴2a-2b-c=2（3-

c

4

）-2（-4-

3

4

c）-c=14；

（3）∵c≥a＞1，又a=3-

c

4

，
∴a=3-

c

4

＜c，
即1＜3-

c

4

＜c，
解得

12

5

＜c＜8，
又∵a、c是大于1的正整數，
∴c=3、4、5、6、7，但a=3-

c

4

，a也是正整數，
∴c=4，
∴a=2，
∴b=-4-

3

4

c=-7．
故a=2，b=-7，c=4．

點評：本題考查的是多項式除以多項式，注意理解整除的含義，比如A被B整除，另外一層意思也就是說，B是A的一個因式，使這個因式B等于0的值，必是A的一個解．