Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線。

(1)以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O;

(2)求證：BC為⊙O的切線；

(3)如果AC=3,tanB=,求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，作線段AD的垂直平分線與AB相交，交點即為圓心O，然后以O為圓心OA為半徑作圓即可；

（2）連接OD，由已知易證∠ODA=∠OAD=∠CAD，從而可得OD∥AC，由此可得∠ODB=∠C=90°，結合OD是⊙O的半徑即可得到BC和⊙O相切；

（3）由已知條件易得BC=4和AB=5的長度，設⊙O的半徑為r，則OD=OA=r，OB=5-r；由OD∥AC可得△BDO∽△BCA，這樣由相似三角形對應邊成比例即可列出關于r的方程，解方程即可求得r的值.

試題解析：

（1）如圖所示，⊙O為所求圓；

（2）連接OD.

∵AD平分∠CAB

∴∠CAD=∠BAD

又∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴OD∥AC

∴∠ODB=∠C=90°

又∵OD為半徑

∴BC是⊙O的切線.

（3）∵在△ABC中，AC=3，tanB=，∠C=90°，

∴BC=4，AB=5，

設⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，BO=5－r

∵OD∥AC

∴△BOD∽△BAC

∴

即

解得， ，

∴⊙O的半徑為 .