Question

【題目】已知實數滿足，則_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

把abc=-1，a+b+c=4代入a2-3a-1可得a2-3a-1=a(b-1)(c-1)，同理可得b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，代入可得=，展開即可得ac+ab+bc=，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=4，ac+ab+bc=即可得答案．

∵，

∴a2-3a-1

=a2-3a-abc=a(bc+a-3)

=a(bc+4-b-c-3)

=a(bc-b-c+1)

=a(b-1)(c-1)，

同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，

∵，

∴，

∴，

∵a+b+c=4，

∴，

∴abc-ab-ac-bc+a+b+c=，

∵a+b+c=4，abc=-1，

∴ab+ac+bc=，

∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

∴16= a2+b2+c2+2×（），

解得：a2+b2+c2=，

故答案為：