Question

【題目】如圖1，是的內角，，

（1）平分，交于點，過點作，過點作，判斷四邊形的形狀：________；

（2）旋轉到，如圖2，邊交于點，連接，AE=AF．過點作，過點作．問：是否平分．若是請證明，若不是請說明理由．

（3）四邊形在（2）的條件下，若恰好，如圖3．連接并延長，交的延長線于點．求證：．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）平分；理由見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據平行四邊形的定義可得四邊形ABFG為平行四邊形，然后證出△FAB為等邊三角形可得BF=BA，從而得出結論；

（2）過點作于N，作于M，先證出是等邊三角形，然后利用SAS證出，從而得出，然后根據角平分線的判定即可證出結論；

（3）先證出平行四邊形是菱形，從而得出，然后設、交于點，根據30°所對的直角邊是斜邊的一半即可得出，然后結合平行四邊形的性質和等角對等邊即可證出結論．

解：（1）∵，

∴四邊形ABFG為平行四邊形

∵中，

∴∠ABC=180°－∠DAB=120°

∵平分，

∴∠ABF==60°

∴∠AFB=180°－∠ABF－∠FAB=60°

∴△FAB為等邊三角形

∴BF=BA

∴四邊形ABFG為菱形

故答案為：菱形；

（2）答：平分

理由：過點作于N，作于M

∴

∵由題意得：， AE=AF

∴是等邊三角形

∴

∴

∵

即：

∵在中，，

∴

∴

∴

∴

∴

∴

又∵，作

∴平分

（3）∵，

∴四邊形是平行四邊形

∵由（2）知

∴平行四邊形是菱形

∴

∵

∴

∵

∴，

∴，

設、交于點

在中，

∵，

∴四邊形為平行四邊形

∴

∵，

∵四邊形為平行四邊形

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

又∵

∴

∴

∵，

∴，

∵

∴

∴

∴