Question

【題目】如圖，拋物線與軸分別交于點，，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點在第一象限的拋物線上，連接，.試問，在對稱軸左側的拋物線是否存在一點，滿足？如果存在，請求出點的坐標：如果不存在，請明理由；

（3）存在正實數，（），當時，恰好滿足，求，的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3），

【解析】

（1）根據待定系數法解答即可；

（2）由可得，連接，如圖，則易得軸，進一步即得，在軸上取點，使，并延長交拋物線于點，然后根據三角形全等即可證明∠PBC＝∠DBC，求出直線BP解析式后與拋物線解析式聯立即可求出P點坐標；

（3）由已知可變形得，由可得，于是可得m的范圍，進而可確定，從而可根據二次函數的性質得：當時，y最大值，當x=n時，y最小值，于是可得關于m、n的方程，解方程并結合題意即得m、n的值．

解：（1）把點，代入拋物線，

得：，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）存在，理由如下：

∵，點在第一象限的拋物線上，

∴，∴，

∵，

∴，

∴，

連接，如圖，則軸，

∴，

∴，

在軸上取點，使，并延長交拋物線于點，

則≌，

∴，

設直線解析式為：，把，代入得：，解得：，，

∴直線解析式為，

解方程組：，得，（舍去），

∴；

（3）由可得：，

∵，當時，恰好，

∴，即，

∴，即，

∴，

∵拋物線的對稱軸是直線，且開口向下，

∴當時，隨的增大而減小，

∴當時，y最大值，當x=n時，y最小值．

又，∴

將①整理，得，變形得：，即．

∵，∴，，

解得：，（舍去），，

同理，由②解得：（舍去），（舍去），；

綜上所述，，．