Question

【題目】如圖，直線y=x＋4與x軸、y軸分別交于A、B兩點， ∠ABC=60°，BC與x軸交于點C．動點P從A點出發沿AC向點C運動（不與A、C重合），同時動點Q從C點出發沿C－B－A向點A運動(不與C、A重合) ，動點P的運動速度是每秒1個單位長度，動點Q的運動速度是每秒2個單位長度．若當△APQ的面積最大時，y軸上有一點M，第二象限內存在一點N，使以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形, 則點N的坐標為_________

Answer 1

【答案】

【解析】試題解析：∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

∴x=0，y=4，y=0，x=-4，

∴A點坐標為：（-4，0），AO=4，BO=4，

∴AB=8，

∴∠BAC=60°，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴CO=4，BC=8，

當P點在AO之間運動時，作QH⊥x軸．

∵，

∴，

∴QH=

∴S△APQ=APQH=t =t2﹙0＜t≤4﹚，

同理可得S△APQ=t﹙8-t﹚=-t2+4t﹙4≤t＜8﹚，

當t=4時S=-t2+4t此時取到最大值，

∴當△APQ的面積最大時，此時Q與B重合，

當以A、Q、M、N為頂點的四邊形為菱形，

AN1=8時，且AN1∥y軸，則N1（-4，-8），

AN2=8時，且AN2∥y軸，則N2（-4，8），

當3點與C點重合坐標為：N3（4，0），

當AB是對角線，AE=AN=BE，設BE=x，則AE=AN=x，

∴在Rt△AEO中

AE2=EO2+AO2，

∴x2=（4-x）2+42，

解得：x=，

∴N（-4， ），

綜上所述，點N的坐標為：（4，0）（-4，8）或（-4，-8）或（-4， ）．