Question

【題目】如圖（1），平面直角坐標系中，點A、B分別在x、y軸上，點B的坐標為（0，1），∠BAO=30°．

（1）求AB的長度；

（2）以AB為一邊作等邊△ABE，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點,求證：BD=OE；

（3）在（2）的條件下，連接DE交AB于F,求證：F為DE的中點．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）直接運用直角三角形30°角的性質即可．
（2）連接OD，易證△ADO為等邊三角形，再證△ABD≌△AEO即可．
（3）作EH⊥AB于H，先證△ABO≌△AEH，得AO=EH，再證△AFD≌△EFH即可．

（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2；
（2）證明：連接OD，

∵△ABE為等邊三角形，
∴AB=AE，∠EAB=60°，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點D，
∴∠DAO=60°．
∴∠EAO=∠NAB
又∵DO=DA，
∴△ADO為等邊三角形．
∴DA=AO．
在△ABD與△AEO中，
∵，
∴△ABD≌△AEO（SAS）．
∴BD=OE．
（3）證明：作EH⊥AB于H．
∵AE=BE，∴AH=AB，
∵BO=AB，∴AH=BO，
在Rt△AEH與Rt△BAO中，

，
∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），
∴EH=AO=AD．
又∵∠EHF=∠DAF=90°，
在△HFE與△AFD中，

，
∴△HFE≌△AFD（AAS），
∴EF=DF．
∴F為DE的中點．