Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，OA，OD滿足等式+（OA-5）2=0，AD=13.

（1）求證：平行四邊形ABCD是菱形；

（2）過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，DF平分∠BDE，請求出DF的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF=．

【解析】

（1）根據非負性得出OA=5，OD=12，利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BD，利用菱形的判定解答；
（2）作輔助線，構建等腰直角三角形，則△FDG為等腰直角三角形，設FG=x，則BG=24-x，證明△BOC∽△BGF，可得x的值，從而得DF的長．

（1）∵+（OA-5）2=0，

∴OA=5，OD=12，

∴OA2+OD2=52+122=169，

∵AD=13，

∴AD2=169，

∴OA2+OD2=AD2，

∴∠AOD=90°，

∴AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）過F作FG⊥BD于G，

∵DE∥AC，AC⊥BD，

∴BD⊥DE，即∠BDE=90°，

∵DF平分∠BDE，

∴∠BDF=45°，

∴△FDG為等腰直角三角形，

∴DG=FG，

設FG=x，則BG=24-x，

∵OC∥FG，

∴△BOC∽△BGF，

∴，

∴，x=，

∴DF=FG=x=．