Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，則∠F= ．

Answer 1

【答案】15°
【解析】解：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）= ×（180°﹣60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°﹣60°=300°，
∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6= ∠MBC，∠1= ∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1= （∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°﹣（∠5+∠6+∠1）=180°﹣150°=30°，
∵BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F= ∠E= ×30°=15°．
故答案為15°．

先由BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC= ∠ABC，∠DCB= ∠ACB，在△ABC中根據三角形內角和定理得∠DBC+∠DCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°﹣∠A）=60°，則根據平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6= ∠MBC，∠1= ∠NCB，兩式相加得到∠5+∠6+∠1= （∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根據三角形內角和定理可計算出∠E=30°；再由BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根據三角形外角性質得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代換得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再進行等量代換可得到∠F= ∠E．