Question

18．如圖，已知一次函數y=-x+4與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k為常數，k≠0）．
（1）當這兩個函數圖象有兩個公共點時，求最大的整數k．
（2）利用（1）中所求k值，借助函數圖象求不等式：x+$\frac{k}{x}$＜4的解集．
（3）若已知的一次函數與反比例函數的圖象交于點E、F，且EF=5$\sqrt{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，由題意△＞0列出不等式即可解決問題．
（2）畫出函數y=-x+4與y=$\frac{3}{x}$的圖象，如圖1所示，可知它們的交點坐標為A（1，3），B（3，1），x+$\frac{k}{x}$＜4的解集，即$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集，由圖象可知反比例函數圖象在直線的下方部分對應的自變量的取值范圍，即可解集．
（3）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，推出x₁+x₂=4，x₁x₂=k，y₁+y₂=4，y₁y₂=k，（x₁-x₂）²=（y₁-y₂）²=16-4k，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，
由題意△＞0，
∴16-4k＞0，
∴k＜4，
∴最大的整數k為3．

（2）畫出函數y=-x+4與y=$\frac{3}{x}$的圖象，如圖1所示，可知它們的交點坐標為A（1，3），B（3，1），

x+$\frac{k}{x}$＜4的解集，即$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集，由圖象可知$\frac{k}{x}$＜-x+4的解集為1＜x＜3．

（3）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，消去y得到，x²-4x+k=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=k，y₁+y₂=4，y₁y₂=k，
∴（x₁-x₂）²=（y₁-y₂）²=16-4k，
∵EF=5$\sqrt{2}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=50，
∴32-8k=50，
∴k=-$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查反比例函數綜合題、一次函數的應用、一元一次不等式、二元二次方程的根與系數的關系等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．