Question

8．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），將線段OC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)C，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么△PCB是否有最大值面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PCB的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由點(diǎn)C的坐標(biāo)以及旋轉(zhuǎn)的角度即可得出OB=3、∠BOD=60°，通過(guò)解直角三角形以及勾股定理即可得出OD、BD的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)B所在的象限即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)C，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過(guò)C，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）假設(shè)存在，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)E，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)即可求出直線BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m）（-3＜m＜0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），根據(jù)三角形的面積公式即可得出S_△PBC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（m+\frac{3}{4}）^{2}$+$\frac{81\sqrt{3}}{32}$，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題，此題得解．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖1所示．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），將線段OC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，
∴OB=OC=3，∠BOD=60°，
∴∠OBD=30°，OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)C，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），
將點(diǎn)B（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）、C（-3，0）代入y=ax²+bx中，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{9a-3b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2\sqrt{3}}{9}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴經(jīng)過(guò)C，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．
（3）假設(shè)存在，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)E，如圖2所示．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0），
將C（-3，0）、B（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）代入y=kx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+c=0}\\{\frac{3}{2}k+c=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，$\frac{2\sqrt{3}}{9}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m）（-3＜m＜0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PE•（x_B-x_C）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{m}^{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$m+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（m+\frac{3}{4}）^{2}$+$\frac{81\sqrt{3}}{32}$．
∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=-$\frac{3}{4}$時(shí)，S_△PBC取最大值$\frac{81\sqrt{3}}{32}$，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解直角三角形、勾股定理以及二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．