Question

如圖1，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點P，E為BC的中點，過E點的圓O與BD相切于點P，圓O與直線AC，BC分別交于點F，G．
（1）求證：△PCD∽△EPF；
（2）如果AB=AD，AC=6，BD=8（如圖2）．求圓O的直徑．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BP=DP，
又∵BE=CE，
∴PE∥DC，
∴∠CPE=∠PCD，
∵BD切⊙O于P，
∴∠DPC=∠PEF，
∴△PCD∽△EPF；

（2）∵平行四邊形ABCD中，AB=AD，
∴平行四邊形ABCD為菱形．
∴AC⊥BD，PB=

1

2

，
BD=

1

2

×8=4，PC=

1

2

，
AC=

1

2

×6=3，
∴BC=5，
∴BE=CE=

5

2

，
∵⊙O切BD于P，AC⊥BD，
∴PF為⊙O的直徑，
∵PE²=BE•BG，
∴42=

5

2

•BG，
∴BG=

32

5

，
∴OG=BG-BC=

7

5

，
∵PC•CF=EC•CG，
∴3CF=

5

2

×

7

5

，
∴CF=

7

6

，
∴⊙O的直徑為3+

7

6

=

25

6

．