Question

【題目】如圖 1，已知拋物線 y ax bx c 經過 A3,0,B 1,0 ，C 0,3 三點，其頂點為D，對稱軸是直線l ， l 與 x 軸交于點 H .

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點 P 是該拋物線對稱軸l 上的一個動點，求PBC 周長的最小值；

（3）如圖 2，若 E 是線段 AD 上的一個動點（ E 與 A, D 不重合），過 E 點作平行于 y 軸的直線交拋物線于點 F ，交 x 軸于點G ，設點 E 的橫坐標為m ，四邊形 AODF 的面積為 S 。

①求 S 與 m 的函數關系式；

② S 是否存在最大值，若存在，求出最大值及此時點 E 的坐標，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）①S=-m2-4m+3（-3＜m＜-1）；②存在，點E為：（-2，2）.

【解析】

（1）設交點式y=a（x+3）（x-1），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；

（2）利用配方法得到y=-（x+1）2+4，從而得到D（-1，4），拋物線的對稱軸為直線x=-1，連接AC交直線x=-1于P，如圖1，利用兩點之間線段最短得到此時PB+PC的值最小，△PBC周長的最小值，然后利用勾股定理計算出AC和BC即可得到△PBC周長的最小值；

（3）①如圖2，先利用待定系數法求出直線AD的解析式為y=2x+6，設E（m，2m+6）（-3＜m＜-1），則F（m，-m2-2m+3），則可表示出EF=-m2-4m-3，根據三角形面積公式，利用S=S△ADF+S△ADO得到S=-m2-4m-3+6；

②先利用配方法得到S=-（m+2）2+7，然后根據二次函數的性質解決問題．

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1），

把C（0，3）代入得a×3×（-1）=3，解得a=-1，

∴拋物線解析式為y=-（x+3）（x-1），

即y=-x2-2x+3；

（2）∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴D（-1，4），拋物線的對稱軸為直線x=-1，

連接AC交直線x=-1于P，如圖1，則PA=PB，

∵PB+PC=PC+PA=AC，

∴此時PB+PC的值最小，

∴此時△PBC周長的最小值，

△PBC周長的最小值=AC+BC=；

（3）①如圖2，

設直線AD的解析式為y=kx+b，

把A（-3，0），D（-1，4）代入得，解得，

∴直線AD的解析式為y=2x+6，

設E（m，2m+6）（-3＜m＜-1），則F（m，-m2-2m+3），

∴EF=-m2-2m+3-（2m+6）=-m2-4m-3，

∴S=S△ADF+S△ADO=×EF×2+×3×4=EF+6=-m2-4m-3+6=-m2-4m+3（-3＜m＜-1）；

②存在．

∵S=-（m+2）2+7，

∴當m=-2時，S有最大值，最大值為7，此時E點坐標為（-2，2）．