Question

【題目】如圖，已知l1∥l2，射線MN分別和直線l1，l2交于A、B，射線ME分別和直線l1，l2交于C、D，點P在A、B間運動（P與A、B兩點不重合），設∠PDB=α，∠PCA=β，∠CPD=γ．

（1）試探索α，β，γ之間有何數量關系？說明理由．

（2）如果BD=3，AB=9，AC=6，并且AC垂直于MN，那么點P運動到什么位置時，△ACP≌△BPD說明理由．

（3）在（2）的條件下，當△ACP≌△BPD時，PC與PD之間有何位置關系，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠γ=α+∠β；（2）當AP=BD=3，△ACP≌△BPD.（3）CP⊥PD

【解析】

（1）過點P作PF∥l1，根據l1∥l2，可知PF∥l2，故可得出∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，由此即可得出結論；

（2）根據平行線的性質得到BD⊥MN，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（3）根據全等三角形的性質得到∠ACP=∠DPB，根據垂直的定義即可得到結論．

解：（1）∠γ=α+∠β，

理由：過點P作PF∥l1（如圖1），

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠α=∠DPF，∠β=∠CPF，

∴∠γ=∠DPF+∠CPF=α+∠β；

（2）當AP=BD=3，△ACP≌△BPD，

∵l1∥l2，AC垂直于MN，

∴BD⊥MN，

∴∠CAP=∠PBD=90°，

∵AB=9，

∴PB=6，

∴AC=PB，

在△CAP與△PBD中，，

∴△ACP≌△BPD，

∴當AP=3時，△ACP≌△BPD；

（3）CP⊥PD，

理由：∵△ACP≌△BPD，

∴∠ACP=∠DPB，

∵∠ACP+∠APC=90°，

∴∠APC+∠DPB=90°，

∴∠CPD=90°，

∴CP⊥PD．