Question

將下列各式因式分解：
（1）a³﹣16a；                  
（2）4ab+1﹣a²﹣4b²．
（3）9（a﹣b）²+12（a²﹣b²）+4（a+b）²；
（4）x²﹣2xy+y²+2x﹣2y+1．
（5）（x²﹣2x）²+2x²﹣4x+1．
（6）49（x﹣y）²﹣25（x+y）²
（7）81x⁵y⁵﹣16xy
（8）（x²﹣5x）²﹣36．

Answer 1

（1）a（a+4）（a﹣4）
（2）（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）
（3）（5a﹣b）²
（4）（x﹣y+1）²
（5）（x﹣1）⁴
（6）4（6x﹣y）（x﹣6y）
（7）xy（9x²y²+4）（3xy+2）（3xy﹣2）
（8）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣6）（x+1）

試題分析：（1）先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解；
（2）先將第一、三、四項作為一組，提取﹣1后寫成完全平方式，再利用平方差公式分解；
（3）將（a+b），（a﹣b）看作一個整體，利用完全平方公式分解因式；
（4）x²﹣2xy+y²+2x﹣2y+1變形為（x﹣y）²+2（x﹣y）+1，利用完全平方公式分解因式；
（5）利用完全平方公式分解因式；
（6）利用平方差公式分解因式；
（7）先提取公因式xy，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解；
（8）利用平方差公式分解因式，再利用十字相乘法公式分解因式．
解：（1）a³﹣16a=a（a²﹣16）=a（a+4）（a﹣4）；                  
（2）4ab+1﹣a²﹣4b²=1﹣（﹣4ab+a²+4b²）=1﹣（a﹣2b）²=（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）；
（3）9（a﹣b）²+12（a²﹣b²）+4（a+b）²=[3（a﹣b）]²+2×3（a﹣b）×2（a+b）+[2（a+b）]²=[3（a﹣b）+2（a+b）]²=（5a﹣b）²；
（4）x²﹣2xy+y²+2x﹣2y+1=（x﹣y）²+2（x﹣y）+1=（x﹣y+1）²；
（5）（x²﹣2x）²+2x²﹣4x+1=（x²﹣2x）²+2（x²﹣2x）+1=（x²﹣2x+1）²=（x﹣1）⁴；
（6）49（x﹣y）²﹣25（x+y）²=[7（x﹣y）]²﹣[5（x+y）]²=[7（x﹣y）+5（x+y）][7（x﹣y）﹣5（x+y）]=（12x﹣2y）（2x﹣12y）=4（6x﹣y）（x﹣6y）；
（7）81x⁵y⁵﹣16xy=xy（81x⁴y⁴﹣16）=xy（9x²y²+4）（9x²y²﹣4）=xy（9x²y²+4）（3xy+2）（3xy﹣2）；
（8）（x²﹣5x）²﹣36=（x²﹣5x+6）（x²﹣5x﹣6）=（x﹣2）（x﹣3）（x﹣6）（x+1）．
點評：本題考查了提公因式法與公式法的綜合應用，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．注意一個多項式采取什么方法進行因式分解要根據題目的特點而定，所以要認真觀察式子的特點．