Question

【題目】問題呈現：下圖是小明復習全等三角形時遇到的一個問題并引發的思考，請幫助小明完成以下學習任務．

請根據小明的思路，結合圖①，寫出完整的證明過程．結論應用：

（1）如圖②，在四邊形中，，的平分線和的平分線交于邊上點．求證：；

（2）在（1）的條件下，如圖③，若，．當有一個內角是時，的面積是 ．

Answer 1

【答案】問題呈現：見解析；結論應用：（1）見解析；（2）或8

【解析】

問題呈現：由“SAS”可證△MOP≌△NOP，可得PM＝PN；

結論應用：（1）在AB上截取AE＝AD，連接PE，由“SAS”可證△ADP≌△AEP，△BPC≌△BPE，可得PD＝PE＝PC；（2）延長AP，BC交于點H，由“ASA”可證△ADP≌△HCP，可得CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，分三種情況討論，由角平分線的性質和銳角三角函數可求解．

問題呈現：

證明：∵平分，

∴．

在和中，

．

∴．

結論應用：

在上截取，

∵平分，

∴，

∵，

∴．

∴．

∵，

∴，

∵平分，

∴．

∵．

∴．

∴．

∴．

（2）由（1）可證∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，

∵∠AEP+∠PEB＝180°，

∴∠PCB+∠D＝180°，

∴AD∥BC，

∵AB＝10，tan∠PAB＝＝，

∴PA＝2PB，

∵PA2+PB2＝AB2，

∴PB＝2，PA＝4，

如圖③，延長AP，BC交于點H，

∵AD∥BC，

∴∠DAP＝∠H，

∴∠H＝∠BAP，

∴AB＝BH＝10，

又∵PB平分∠ABC，

∴BP⊥AP，AP＝PH＝4，

∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，

∴△ADP≌△HCP（ASA），

∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，

若∠PBC＝45°時，則∠PBC＝∠H＝45°，

∴PB＝PH（不合題意舍去），

若∠BPC＝45°時，則∠HPC＝∠BPC＝45°，

如圖④，過點C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，

∴CM＝CN，

∵S△PBH＝×BP×PH＝×BP×CN+×PH×CM，

∴CM＝CN＝，

∴S△PCH＝×4×＝＝S△ADP；

若∠PCB＝45°時，

如圖⑤，過點P作PF⊥BC于F，

∵∠PAB＝∠H，

∴tanH＝tan∠PAB＝，

∴，

∴FH＝2PF，

∵PF2+FH2＝PH2＝80，

∴PF＝4，FH＝8，

∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，

∴∠PCB＝∠FPC＝45°，

∴CF＝PF＝4，

∴CH＝4，

∴S△ADP＝S△CPH＝×4×4＝8，

故答案為：8或．