Question

【題目】數(shù)學中，把長與寬之比為（或寬與長之比為）的矩形稱為黃金矩形.

思考解決下列問題：

（1）已知圖1中黃金矩形的長，求的長；

（2）黃金矩形有個奇妙的特性：把圖1中的黃金矩形，以為邊向矩形內作正方形，則矩形是否為黃金矩形，是，請予以證明；不是，請說明理由；

（3）黃金矩形使名畫《蒙娜麗莎》顯得特別和諧，專家分析畫中布局如圖2，其中最外面的矩形是黃金矩形，以黃金矩形的寬為邊向矩形內部作正方形，由上小題知產生的小矩形為更小的黃金矩形，按此規(guī)律依次生成各黃金矩形，若圖3中最大黃金矩形的長為，則最小黃金矩形的長是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）矩形DCGF是黃金矩形，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)黃金分割的定義代入求解即可；

（2）由正方形的性質得到點D為線段AF的黃金分割點，再根據(jù)黃金分割的定義判斷即可；

（3）根據(jù)黃金分割的定義解答即可.

（1）由題意可得，，

∵，∴，即的長為.

（2）矩形是黃金矩形，理由如下：

∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=DC=AD，

又∵，∴,

即點D是線段AF的黃金分割點，

∴，∴，

∴矩形DCGF是黃金矩形．

（3）若圖3中最大黃金矩形的長為a，由題意可得，

最小黃金矩形的長是.