Question

【題目】已知拋物線y=14x2+1(如圖所示).

(1)填空：拋物線的頂點坐標是(___,___)，對稱軸是___；

(2)已知y軸上一點A(0,2)，點P在拋物線上，過點P作PB⊥x軸，垂足為B. 若△PAB是等邊三角形，求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，點M在直線AP上。在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形?若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x＝0）；（2）P1（2，4），P2（﹣2，4）；（3）存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四邊形OAMN是菱形．

【解析】

（1）根據函數的解析式直接寫出其頂點坐標和對稱軸即可；
（2）根據等邊三角形的性質求得PB=4，將PB=4代入函數的解析式后求得x的值即可作為P點的橫坐標，代入解析式即可求得P點的縱坐標；
（3）首先求得直線AP的解析式，然后設出點M的坐標，利用勾股定理表示出有關AP的長即可得到有關M點的橫坐標的方程，求得M的橫坐標后即可求得其縱坐標，

解：（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x＝0）．

（2）∵△PAB是等邊三角形，

∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．

∴AB＝20A＝4．

∴PB＝4．

解法一：把y＝4代入y＝x2+1，

得 x＝±2．

∴P1（2，4），P2（﹣2，4）．

解法二：∴OB＝＝2

∴P1（2，4）．

根據拋物線的對稱性，得P2（﹣2，4）．

（3）∵點A的坐標為（0，2），點P的坐標為（2，4）

∴設線段AP所在直線的解析式為y＝kx+b

∴

解得：

y＝x+2

設存在點N使得OAMN是菱形，

∵點M在直線AP上，

∴設點M的坐標為：（m，m+2）

如圖，作MQ⊥y軸于點Q，則MQ＝m，AQ＝OQ﹣OA＝m+2﹣2＝m

∵四邊形OAMN為菱形，

∴AM＝AO＝2，

∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2＝AM2，

即：m2+（m）2＝22

解得：m＝±

代入直線AP的解析式求得y＝3或1，

當P點在拋物線的右支上時，分為兩種情況：

當N在右圖1位置時，

∵OA＝MN，

∴MN＝2，

又∵M點坐標為（，3），

∴N點坐標為（，1），即N1坐標為（，1）．

當N在右圖2位置時，

∵MN＝OA＝2，M點坐標為（﹣，1），

∴N點坐標為（﹣，﹣1），即N2坐標為（﹣，﹣1）．

當P點在拋物線的左支上時，分為兩種情況：

第一種是當點M在線段PA上時（PA內部）我們求出N點坐標為（﹣，1）；

第二種是當M點在PA的延長線上時（在第一象限）我們求出N點坐標為（，﹣1）

∴存在N1（，1），N2（﹣，﹣1）N3（﹣，1），N4（，﹣1）使得四邊形OAMN是菱形．