Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，D是⊙O上一點，連接BD、CD、AC、BD交于點E．
（1）請找出圖中的相似三角形，并加以證明；
（2）若∠D=45°，BC=2，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）容易發現：△ABE與△DCE中，有兩個角對應相等，根據相似三角形的判定可得到它們相似；
（2）求⊙O的面積，關鍵是求⊙O的半徑，為此作⊙O的直徑BF，連接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC=2，求出BF的長，從而求出⊙O的面積．

解答：解：（1）結論：△ABE∽△DCE，（1分）
證明：在△ABE和△DCE中，
∵∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE．（3分）

（2）作⊙O的直徑BF，連接CF，
∴∠F=∠D=45°，∠BCF=90°．
∴△BCF是等腰直角三角形．（4分）
∵FC=BC=2，
∴BF=2

2

．
∴OB=

2

．（5分）
∴S_⊙O=OB²•π=2π．（6分）

點評：本題重點考查了同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角及相似三角形的判定．