Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，過D作⊙O的切線與AC的延長線交于點E．
（1）求證：BC∥DE；
（2）若AB=3，BD=2，求CE的長；
（3）在題設條件下，為使BDEC是平行四邊形，△ABC應滿足怎樣的條件（不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）連接CD，可根據圓周角定理通過AD平分∠BAC得出∠DCB=∠DBC，根據弦切角定理可得出∠CDE=∠DBC，將等角置換后即可得出∠BCD=∠CDE．即可得出平行；
（2）由（1）不難得出BD=CD（等角對等邊），然后通過證明三角形ABD和CDE相似，來得出AB、BC、CD、CE的比例關系，有了AB、BD、CD的值就求出了CE的長；
（3）要使BDEC是平行四邊形，那么BD∥CE，可通過弦切角定理得出∠BAD=∠ACB，也就得出了

AB

=

BD

，上面（1）中已經得出

BD

=

CD

，因此

CD

=

CD

=

AB

，∠ACB=∠BAD=∠CAD，因此∠BAC=2∠ACB．

解答：（1）證明：連接CD；
∵DE是圓O的切線，
∴∠CDE=∠CBD．
∵∠CBD=∠DAC，
∴∠CDE=∠DAC．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CDE=∠BAD．
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠CDE=∠BCD．
∴BC∥DE．

（2）解：如圖，連接CD；
∵AD平分∠BAC，
∴

BD

=

CD

．
∴∠BCD=∠CBD．
∴BD=CD=2．
∵BC∥DE，
∴∠E=∠ACB=∠ADB．
又由（1）中已證得∠CDE=∠BAD，
∴△ABD∽△DCE．
∴AB：BD=CD：CE．
∴CE=BD•CD÷AB=

4

3

．

（3）解：應該是∠BAC=2∠ACB．

點評：本題主要考查了切線的性質，相似三角形的判定和應用等知識點，有一定的綜合性．